Método de Euler para una EDO de primer orden
El applet mostrado aquí permite visualizar y comprender el mecanismo de funcionamiento del método de Euler para resolver una EDO de primer orden.
Explicación del método de Euler como algoritmo iterativo de predicción
El método de Euler es un método aproximativo de predicción, y se aplica cuando se quiere estimar una variable de salida para una determinada variable de entrada. Para poder predecir es necesario conocer la manera, o forma, en que varía la variable en relación a la variable , y conociendo de antemano un estado, que llamaremos, de inicio; comúnmente se le conoce como condición inicial . Este proceso expuesto en lenguaje común (verbal), describe un algoritmo el cual puede traducirse a lenguaje matemático. Esto de manera simplificada significa que se debe resolver una EDO de primer orden, sujeta a una condición inicial. Este problema a resolver cumple con la siguiente estructura:
; sujeta a una condición inicial .
Aquí, la derivada nos indica de qué forma, o manera, varía en relación a , y se manifiesta como un proceso de cambio entre estas dos variables. Al conocerse esta información, es posible predecir un estado en cierta parte de un proceso. Para ello, se debe conocer un estado para predecir, a partir de él, el proceso a posteriori. El método de Euler considera dos estados sucesivos (contiguos), esto es, de manera general: y , estado anterior y estado actual, respectivamente. Ahora bien, si estos estados están muy próximos uno del otro, podemos considerar que la única manera en la que ambos se relacionan, o se interconectan, es a través de un comportamiento del tipo lineal. Matemáticamente, podemos expresar esta relación como:
,
donde es la pendiente de la recta que une a ambos estados. Pero del cálculo sabemos que , por lo que la expresión lineal queda como: . Cabe mencionar que el valor de la pendiente es única en cada punto de una curva, que en este caso, sería en el punto que consideramos el estado anterior , ya que a través de éste nos permitirá predecir el estado actual . Por lo que , y tras considerar la EDO de primer orden, concluimos que . Para simplificar el proceso de predicción, podemos considerar que entre dos entradas sucesivas, digamos y , se pueda generar una diferencia entre ellas con el mismo valor constante, esto es: . Por lo que el algoritmo de predicción se reduce a:
, con
Si queremos saber el valor de , basta con conocer la longitud que existe entre la primera y última entrada ( y ), y el número de iteraciones que deseamos realizar. Con esta información se tiene que,
.
En concreto, si desea utilizar el algoritmo de operación del método de Euler, son necesarios los siguientes elementos de inicio:
* función bivariable
* condición inicial
* número de iteraciones
* valor de
Todos estos elementos permiten calcular, o predecir, el valor de .
Modo de operación del applet
Usted puede modificar cada uno de los elementos mencionados anteriormente tras realizar ciertas acciones específicas sobre ellos. Por ejemplo, la función bivariable puede cambiarla escribiendo una nueva en la casilla de entrada. Es posible cambiar tanto la condición inicial como el valor de , tras desplazarlos a lo largo de la vista gráfica, utilizando el puntero. En cuanto al valor de , basta con utilizar el deslizador, y así posicionarse en el valor que indicará el número de iteraciones que realizará el algoritmo.
El applet también da la posibilidad de mostrar la solución analítica, en caso que se tenga una solución integrable.