Rectángulo isoperimétrico
Problema
Construye un modelo dinámico de un rectángulo que su perímetro sea constante e igual a 20 unidades, y analiza cómo se comporta su área.
- ¿Cuál es el área máxima que puede alcanzar?
- ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo cuando alcanza su área máxima?
- ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo cuando su área es 16 unidades cuadradas?
- ¿Cuál es el dominio del problema?
- Si el área máxima que pudiera obtenerse fuera de 100 unidades cuadradas, ¿cuál sería el perímetro del rectángulo?
Modelo
Pasos para constuir el modelo
- Coloque un punto A en el origen.
- Coloque un punto B sobre el eje horizontal y posiciónelo en (10,0).
- Trace segmento AB.
- Coloque un punto C sobre el segmento AB.
- Trace una circunferencia centrada en C con radio CB.
- Trace una perpendicular al segmento AB que pase por el punto C.
- Ponga un punto D en la intersección superior de la circunferencia y la recta anterior.
- Trace una recta perpendicular a la recta CD y que pase por el punto D.
- Coloque un punto en la intsección de la recta anterior y el eje vertical.
- Construya el polígono ACDE (en este punto, usted, ya cuenta con el modelo de un rectángulo que cambia su área cuando mueve el punto C pero mantiene su perímetro fijo o constante).
- Defina en la barra de entrada el punto F=(a,c1).
- Obtenga el lugar geométrico de F respecto a C.
- Parametrice el punto F para obtener la función asociada al lugar geométrico: y = x(10-x)
Respuesta a las preguntas después de explorar y analizar el modelo dinámico.
- ¿Cuál es el área máxima que puede alcanzar? 25 unidades cuadradas
- ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo cuando alcanza su área máxima? Es un cuadrado de 5 unidades por lado
- ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo cuando su área es 16 unidades cuadradas? 8 y 2 unidades, pueden ser de base y altura o viceversa.
- ¿Cuál es el dominio del problema? Está en el intervalo (0, 10)
- Si el área máxima que pudiera obtenerse fuera de 100 unidades cuadradas, ¿cuál sería el perímetro del rectángulo? 40 unidades
Respuestas a las preguntas desde el enfoque algebraico
Respuesta a las primeras dos preguntas:
Sea b la base del rectángulo y a su altura.
... 1
... 2
... 3
Por otro lado,
Área que ahora nombraremos es
... 4
si se escribe en función de la base, entonces
... 5,
se sustituyó el valor de a que se obtiene de despejarla en la ecuación 3.
Para obtener la longitud de la base que maximiza el área del recángulo, primero se deriva la función A(b)
... 6
y luego se iguala a cero
... 7
... 8
Con el criterio de la segunda derivada se puede comprobar que si la base mide 5 unidades, entonces el área del rectángulo es máxima:
; es decir,
Por lo tanto, cuando los lados del rectángulo son iguales y de longitud de 5 unidades, entonces se obtiene el máximo área del rectángulo que es unidades cuadradas.
Respuesta a la tercera pregunta:
Se toma la ecuación 5, se sustituye A por 16 unidades y se resuelve la ecuación.
... 9
... 10
... 11
Por lo tanto, si la base mide 8 o 2 unidades, el área del rectángulo es de 16 unidades cuadradas.
Respuesta a la cuarta pregunta:
El problema tiene sentido que sea analizado entre los valores del 0 y el 10, pues antes o después no tiene sentido debido a que no puede construirse un rectángulo con la condición de que su perímetro sea 20 unidades.
Respuesta a la última pregunta:
Para obtener esta respuesta se tiene que generalizar la ecuación 3, es decir, la suma de la altura y la base es igual al semiperímetro del rectángulo
... 12
se sigue el procedimiento hasta llegar a la forma equivalente de la ecuación 6
... 13
así, el valor máximo estará en (este resultado se obtiene repitiendo 7 y 8). Esto significa que el área máxima del rectángulo se obtiene cuando
... 14
esto es
... 15
Por lo tanto, el perímetro del rectángulo es 40 unidades si su área máxima es de 100 unidades cuadradas.
Finalmente, se puede concluir lo siguiente:
De 15, se puede ver que el cuadrado del perímetro de un rectángulo isoperimétrico es directamente proporcional su área máxima
o bien
Extensión del problema
Otras preguntas que podemos plantearnos a partir de explorar el modelo dinámico y que nos permiten anilzar el comportamiento y la forma en que se relacionan otros elementos implícitos son:
- ¿Cuál es le lugar geométrico que describe el punto D cuando se mueve C?
- ¿Puede construirse el modelo a partir de la información obtenida en la pregunta anterior?
- ¿Qué lugar geométrico describe el punto F cuando mueves B?
- ¿Qué información se obtiene de este último lugar geométrico?
Extensión del modelo
Transformando el problema
La segunda pregunta del apartado de "extensión del problema" plantea un problema subyacente a lo analizado del modelo. No es dificil ver que sí es posible construir dicho rectángulo a partir de un segmento cuyos extremos están en (0,b) y (b,0).
En particular se puede puede ver esto como la construcción de un rectángulo inscrito a un triángulo rectángulo isósceles (es el que se forma entre el segmento y los ejes), en el cual se puede conseguir el área máxima del rectángulo cuando es un cuadrado.
Pero...
Si el triángulo rectángulo incial no fuera isósceles, ¿el área máxima del rectángulo inscrito sería aún cuando se forma un cuadrado? ¿Siempre aparecerá un cuadrado entre la famila de rectángulos inscritos a dicho triángulo? ¿El área máxima se obtendrá cuando uno de sus lados esté sobre un cateto, la hipotenusa o es igual?
Modelo subyacente 1
Modelo subyacente 2
Así es, esto puede continuar por un buen rato...
:)
