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Análise geral do comportamento de uma função

O objetivo dessa ativadade é utilizar as técnicas envolvendo derividas para enteder o comportamento de uma função e esboçar seu gráfico. Vamos criar um passo a passo que serve apenas para nos auxiliar, mas não precisa necessariamente ser seguido nessa ordem.
Como esboçar o gráfico de uma função: Ingredientes: uma função , sua derivada primeira e sua derivada segunda . Passo 0: Encontrar o domínio. Passo 1: Encontrar a intersecção com o eixo vertical e o eixo horizontal (algumas vezes calcular a intersecção com o eixo horizontal pode ser muito difícil, nesse caso, siga a diante). Passo 2: Encontrar os intervalos de crescimento e decrescimento. Passo 3: Encontrar os pontos críticos. Passo 4: Encontrar os pontos de máximos e mínimos locais. Passo 5: Determinar a concavidade e os pontos de inflexão. Passo 6: Verificar se existem assíntotas verticais e horizontais. Pronto agora é só utilizar as informações acima e esboçar o gráfico da função.

Exemplo: Esboce o gráfico de

Ingredientes: Passo 0: Domínio Essa função é uma função polinomial e portanto está definida em toda a reta, isto é,

Passo 1: Intersecção com os eixos Intersecção com o eixo vertical: Temos que

logo a intersecção com o eixo vertical ocorre no ponto . Intersecção com o eixo horizontal: Temos que resolver a equação , isto é,

embora seja possível determinar se a equação possui solução e se possuir quais seriam, vamos optar por pular. Passo 2: Crescimento e Decrescimento Intervalos de crescimento : Temos que

como é maior que zero para todo o , temos que para todo e , portanto é crescente no intervalo . Intervalos de decrescimento : como é maior que zero para todo o , temos que para todo e portanto é decrescente no intervalo .
Passo 3: Pontos Críticos logo temos , se neste caso , logo os pontos críticos ocorrem em e . Passo 4: Máximos e Mínimos Vamos utilizar o Teste da Derivada Segunda. logo o ponto é um ponto de mínimo local. nesse caso não podemos afirmar nada. Passo 5: Concavidade e Inflexão Queremos analisar o sinal de

observamos que o polinômio possui raizes no pontos 1/3 e 1, logo para todo o ou e para todo o . então é concâva pra cima nos intervalo e , e é concâva pra baixo no intervalo Além disso como troca de concavidade em , logo temos dois pontos de inflexão.
Passo 6: Assíntotas Como não haverá assíntotas verticais. Além disso tempos que e , então não haverá assíntotas horizontal.

Exemplo: Esboce o gráfico de

Ingredientes: Passo 0: Domínio Precisamo que portanto temos que e , logo . Passo 1: Intersecção com os eixos Intersecção com eixo vertical: , logo a intersecção com o eixo vertical ocorre no ponto . Intersecção com eixo horizontal: , logo a intersecção com o eixo horizontal ocorre no ponto . Passo 2: Crescimento e Decrescimento Queremos analisar o sinal de como é sempre positivo temos que

Portanto é crescente nos intervalos e . Da mesmas forma

Portanto é decrescente nos intervalos e . Passo 3: Pontos Críticos

. O único ponto crítico ocorre em . Passo 4: Máximos e Mínimos Vamos utilizar o Teste da Derivada Primeira. Como a derivada muda de negativa para positiva em temos que o ponto é um ponto de máximo local. Passo 5: Concavidade e Inflexão Queremos analisar o sinal de como é sempre positivo temos que

ou

logo temos que é côncava para cima nos intervalos e . Da mesma forma temos

logo temos que é côncava para baixo no intervalo . Passo 6: Assíntotas Temos que analisar os limites da quando tende a . . . Com isso temos que é uma assíntota horizontal e e são assíntotas verticais.
Exercício: Esboce o gráfico das funções abaixo a) b) c) d)
a)-(1/4)*x^4+(5/3)*x^3-2*x^2 b)(x^2+2)/(x) c)(4)/(sqrt(x+2)) d)ln (2*x+3)